Stable Diffusion的数学原理

Stable Diffusion是一种深度学习模型，用于生成和操作图像。它主要基于变分自编码器（Variational Autoencoders, VAEs）和扩散模型（Diffusion Models）的结合。下面是这些关键概念的详细解释：

变分自编码器（VAEs）

变分自编码器是一种生成模型，用于学习输入数据的潜在表示。VAE包括两部分：编码器和解码器。

• 编码器（Encoder）：将输入数据映射到一个潜在空间（latent space）。映射过程可以表示为：

  $$q_{\varphi }(z|x)$$

  其中，$x$是输入数据，$z$是潜在表示，$\varphi$是编码器的参数。

• 解码器（Decoder）：将潜在空间的表示映射回数据空间，尝试重构输入。公式如下：

  $$p_{\theta }(x|z)$$

  其中，$\theta$是解码器的参数。

VAE的目标是最大化输入数据的对数似然的下界（ELBO, Evidence Lower BOund）：

$$\log p(x)\ge {\mathbb{E}}_{q_{\varphi }(z|x)}[\log p_{\theta }(x|z)]-D_{KL}(q_{\varphi }(z|x)||p(z))$$

这里，$D_{KL}$是KL散度，一种衡量两个概率分布差异的方法。

扩散模型（Diffusion Models）

扩散模型是一种逐步将数据从其原始状态转化为无序状态，然后再逆转这个过程以生成数据的模型。其基本步骤如下：

1. 正向过程（Forward process）：这是一个马尔可夫链过程，逐渐在数据上增加噪声，直到数据完全转化为噪声。

   $$q(x_t|x_{t-1})=\mathcal{N}(x_t;\sqrt{1-{\beta }_t}{x}_{t-1},{\beta }_{t}I)$$

2. 逆向过程（Reverse process）：这是正向过程的逆过程，从噪声中重构出原始数据。

   $$p_{\theta }(x_{t-1}|x_t)$$

模型的训练目标是最小化原始数据和重构数据之间的差异。